不等式の表す領域を一筆で決める型｜線と影で迷いを消して点数に変えよう！

式だけ見て固まってしまう瞬間は誰にでもありますが、不等式の表す領域を図に直すと条件が面で見え、手が自然に動き出します。どちら側を塗るのか、境界は実線か破線か、最初の迷いを減らせたら安心ではありませんか？

• 影を塗る向きを代入で決める（20秒の定型）
• 等号の有無で境界の実線破線を切り替える
• 交点を先に押さえ重なりだけを残していく

この記事は、不等式の表す領域を数直線から平面、そして二次や絶対値の形まで一つの型でつなぎます。読み終えたときに、作図の開始から答えの確認までを二呼吸で回せるようになることを狙います。

不等式の表す領域を図解に変える基本

不等式の表す領域は「境界を等式で決め、向きを代入で選ぶ」というたった二段で確定します。数直線では端点の開閉、座標平面では直線や曲線の片側という見方に統一でき、手順が短く覚えやすくなります。

数直線で端の扱いを決める

一次元なら範囲は線上の区間なので、≥や≤のときは端を塗りつぶし、＞や＜のときは空白にして不等式の表す領域の端の含み方を明示します。端の形の違いは後の最大最小に直結するため、最初に確定します。

座標平面では直線が境界になる

ax+by=c を境界に持つ半平面は、ax+by≦c か ax+by＞c のどちらかで不等式の表す領域が定まります。境界は等式に直して一本で引き、原点などの基準点を代入して成否で影の側を素早く選びます。

等号の有無で実線と破線を描き分ける

等号を含む条件では境界も解の一部なので実線、含まないなら破線で不等式の表す領域の端の取り扱いを視覚化します。線種を変えるだけで端の有無を見直せるため、図上の再確認が短い動作で済みます。

代入点で塗る側を一瞬で判断する

境界に乗っていない簡単な点を一つ選び、成否で片側を塗れば不等式の表す領域は即決します。原点が境界上にあるときは(1,0)や(0,1)などに切り替え、判定の一貫性を優先します。

連立条件は重なりを拾って残す

複数の条件では各々を別レイヤーのように作図し、最後に重なりだけを濃く残すと不等式の表す領域が自然に浮かびます。濃淡を変える、境界を色で区別するなど視覚の補助を先に用意します。

ここまでの型を一枚の図に落とすと、不等式の表す領域は毎回同じ順で決まり、作図の品質が安定します。端点と交点に数値を書き添え、読み取りの根拠を図の上に残せば見直しも速く正確に進みます。

不等式の表す領域と一次関数のつながり

一次関数は境界が直線の問題なので、傾きと切片の二つを意識すれば不等式の表す領域の姿は式からすぐに思い描けます。判定は代入、端は線種、仕上げは交点という三拍子で流れを固定します。

傾きと切片で境界の姿を即イメージ

y=ax+b の a は上がり方、b は y 軸との交点で、これだけで境界の傾きと位置が決まります。頭に線の姿を描ければ不等式の表す領域は半分決まり、塗る側の判定へ迷いなく移れます。

原点代入が使えないときの選点

境界が原点を通るときは原点判定ができないため、(1,0)や(0,1)などの小さな点に切り替えます。選点の基準を固定しておくと、不等式の表す領域の向きが問題ごとにぶれず、計算の再現性が上がります。

面積や範囲を図で見積もる

直線で囲まれた図形は三角形や台形になるので、底辺と高さの読み取りに分解すれば量の見積もりが速くなります。図に長さを直接書き込み、不等式の表す領域の面積や幅を目で確認しながら計算に入ります。

次の表は、代表的な形と境界、判定点の対応をひとまとめにしたものです。作図に入る前に目で走らせるだけで、不等式の表す領域の判定が一段短くなります。

不等式の形	境界の等式	線種	判定点の例	塗る側の目安
y＞ax+b	y=ax+b	破線	(0,0)	成り立てば直線より上
y≧ax+b	y=ax+b	実線	(0,0)	成り立てば直線より上
ax+by＜c	ax+by=c	破線	(0,0)	成り立てば原点側
ax+by≧c	ax+by=c	実線	(1,0)	成り立てば選点側
x≦k	x=k	実線/破線	(0,0)	左側の半平面
y＞k	y=k	破線	(0,0)	線より上側

表の意図は「境界は等式化、線種は等号、向きは代入」という三本柱を一目で確認することにあります。最初の一筆で柱を外さなければ、不等式の表す領域は必ず正しく立ち上がり、解答全体の見通しが早く整います。

一次関数に限れば、傾きと切片のイメージ化→等式化→選点判定という三段を繰り返すだけで、不等式の表す領域の作図は安定します。最後に交点へ数値を書き添え、読み取りの土台を図上に残します。

不等式の表す領域と連立の手順

連立では境界が増えるほど情報があふれるため、作業を「単体の作図」と「重なりの抽出」に分けて進めます。交点を先に計算し角の位置関係を確定しておくと、不等式の表す領域の候補がはじめから整理されます。

交点を先に求めて角を確定する

直線同士なら連立方程式で交点を出し、放物線が混ざるなら連立の代入で切り分けます。角が決まった図は迷いが少なくなり、不等式の表す領域を囲う線の並びが一目で分かるようになります。

平行と交差で候補を絞る

境界線が平行なら帯状、交差すれば多角形という大枠を先に決めれば、塗るべき側の選択肢は大幅に減ります。形から入る発想が、不等式の表す領域の見取り図を速く描く近道になります。

三大ミスをカード化して潰す

実線破線の描き分け忘れ、塗る側の反転、交点の座標書き落としは連立で頻出します。チェックカードに「等号・向き・交点」と書き、各境界の直後にめくる癖をつけると不等式の表す領域の誤認が減ります。

次のリストは、連立を確実に通すための七つの合図です。声に出しながら進めるだけで、不等式の表す領域の決定が一定速度で流れ、やり直しが激減します。

• 各不等式を等式に直し境界だけを先に引く
• 交点を解いて角の順番を紙面に固定する
• 判定点を一つに統一し向きをそろえる
• 等号の有無で線種を即断し端を明示する
• 重なり以外を薄くし答えの領域を濃く残す
• 必要量と単位を図に書き計算の土台にする
• 最後に「端を含むか」を声に出して確認する

七つの合図は、視覚→計算→確認という順で思考を押し流すためのハンドルです。順を固定しておけば不等式の表す領域が毎回同じ型で現れ、難度が上がるほど効果が増し、見直しの時間も確保できます。

不等式の表す領域と二次の形を見抜く

放物線や円が境界に登場すると内外の判断が増えますが、平方完成で頂点と軸を置き、開く向きを確定すれば迷いは減ります。等号の有無で境界の線種を変える原則は同じで、不等式の表す領域は型で決まります。

平方完成で頂点と軸を置く

y=ax²+bx+c を a(x−p)²+q に直すと頂点が(p,q)に現れ、a の符号で開き方がわかります。軸と頂点を図に太く置くと、他の境界との位置関係がはっきりし不等式の表す領域の内外判定が容易になります。

内側か外側かは不等号で決まる

y≧ax²+bx+c なら曲線の内側、y＜ax²+bx+c なら外側と覚え、等号の有無で線種を切り替えます。直線と交わるときは交点の区間で上下関係が入れ替わるため、不等式の表す領域を部分ごとに見る姿勢が大切です。

直線と放物線の交点で範囲を切る

連立して出る二つの交点を基準に区間を三つに割り、どの区間でどちらが上かをチェックします。区間ごとの比較が済めば、不等式の表す領域の塗る側は迷いなく決まり、計算の枝分かれも抑えられます。

次の表は、二次の代表的な境界と塗る側の対応です。作図の直前に目で通すだけで、不等式の表す領域の向きの取り違えが目に見えて減ります。

境界	等式形	開く向き	線種	塗る側
上に開く放物線	y=ax²+bx+c	a＞0	実線/破線	y≧で内側
下に開く放物線	y=ax²+bx+c	a＜0	実線/破線	y≦で内側
横に開く放物線	x=ay²+by+c	a≠0	実線/破線	x≧/≦で左右
円	(x−p)²+(y−q)²=r²	—	実線/破線	≦で内側
直線と放物線	連立の等式	—	混在	交点で区間分割

表の確認で「頂点・軸・開く向き・線種・内外」を一気に並べ替えられます。境界が増えても、交点に名前と座標を付けておけば不等式の表す領域の説明が言葉ででき、計算の根拠を他者に示せます。

二次の世界でも、等式化→軸と頂点→向き判定→区間比較という順番は崩れません。順を守るだけで不等式の表す領域は安定して現れ、面積や最小値の評価も図の上で迷いなく進みます。

不等式の表す領域と絶対値＝距離の読み替え

絶対値は距離の別名なので、中心と半径、あるいは基準線からの幅に直せば判定が一息で済みます。距離の言い換えを習慣化すると、不等式の表す領域は帯・円・菱形などの見慣れた形に還元されます。

帯領域は中心と幅に直す

|x−a|≦k は x=a±k の二本で囲まれた帯、|y−b|＜k は横の帯と読み替えます。帯の内側か外側かを等号で決め、端の線種を切り替えれば不等式の表す領域の取り違えが起きにくくなります。

円と円環は半径の大小で整理

√((x−p)²+(y−q)²)≦r は中心(p,q)半径rの円の内側、r₁≦距離≦r₂なら円環です。中心間距離と半径の大小だけで重なりが分類でき、不等式の表す領域の重ね合わせが短い思考で完了します。

ひし形は|x|+|y|の等高線

|x|+|y|≦k は原点からのマンハッタン距離の上限で、45度回転した正方形の内側が解になります。回転や平行移動をしても距離の総和という本質は不変で、不等式の表す領域は折れ線の内外に帰着します。

次の表は、絶対値を距離に訳す定番の対応です。作図直前の短い確認に使うと、不等式の表す領域の向きや端の扱いを一度で統一できます。

不等式	幾何の訳	境界	線種	領域の向き
|x−a|≦k	縦の帯	x=a±k	実線	内側
|y−b|＜k	横の帯	y=b±k	破線	内側
距離≧r	円の外側	半径rの円	実線/破線	外側
|x|+|y|≦k	菱形	折れ線	実線	内側
|x−p|+|y−q|＞k	菱形の外	折れ線	破線	外側

距離への翻訳が身体化されると、絶対値の式は「中心と幅」だけで味わえるようになります。図の上で意味を確定してから式に戻せば、不等式の表す領域の判定と計算が互いの検算になり、精度が上がります。

結局のところ、絶対値は距離で考えるのが最短です。帯と円と菱形の三形を軸に、問題の表面をはがすと不等式の表す領域はいつも同じ地図に帰り、読み替えの速度と自信がそろって育ちます。

不等式の表す領域を文章題と最適化に使う

文章題では「以上」「未満」などの言い回しを等号の有無に直し、図に線種の違いとして必ず反映します。目的の量が最大最小を問うときは、等高線を平行移動して不等式の表す領域の端に当たる場所を探します。

ことば→式→図の翻訳を一定化する

単位をそろえ、基準量と増減の意味を確定してから式に落とし込みます。翻訳の順を固定すれば、不等式の表す領域と答えの文意が一致し、書き終えた後の検算も言葉で行えるようになります。

目的関数を平行移動して端を探す

目的が ax+by の形なら同じ傾きの直線を平行移動し、最後に不等式の表す領域の端とぶつかる点が最適解の候補です。候補は交点と辺上に限られるため、比較対象が少なく計算の見通しが立ちます。

見直しは境界と端点の印で機械化

完成図に「含む/含まない」の印、交点の座標、単位の三点を必ず残します。印の有無をなぞるだけで不等式の表す領域の見落としが検出でき、時間がなくても最低限の品質を守れます。

まとめに向けて、作図のチェックリストをもう一度だけ短くなぞります。等式化→線種→判定点→重なり→端点→数値書き込みの六段を声に出し、どの場面でも不等式の表す領域を同じ型で決め切ります。

不等式の表す領域のまとめ

不等式の表す領域は、等式化で境界を置き、代入で向きを決め、連立なら重なりを残すという一本筋で扱えます。直線も二次も絶対値も等号の扱いは共通で、線種と端の取り方を図に映すだけで迷いが消えます。

仕上げの行動は三つです。判定点を固定し、交点に数値と名前を置き、目的の量を等高線として平行移動して端を比べます。これだけで不等式の表す領域は安全に読み切れ、答案全体の精度と速度が同時に上がります。